Técnicas de Conteo

Permutaciones y combinaciones

 

Generalidades

 

Antes de lanzar un dado, tenemos seis posibles resultados.

a cada una de ellos lo llamamos evento.

Y a todo el conjunto de eventos de un experimento aleatorio lo conocemos como espacio muestral, es decir que caiga 2 es uno de los seis eventos posibles dentro de ese espacio muestral, compuesto por las 6 posibilidades.

Ahora, si lanzas una moneda al aire cuantos eventos posibles tenemos? cual es su espacio muestral?

 

Piensa en otros ejemplos de espacio muestral!

 

 

 

En las situaciones descritas anteriormente encontrar el espacio muestral no es difícil, sin embargo existen circunstancias en las cuales hallar la cantidad exacta de opciones en un experimento no es tan sencillo.

 

Por ejemplo:

Si tenemos 12 pimpones de colores diferentes, en una bolsa y queremos sacar 4 de ellos cuantas opciones habrán, cual es la cantidad de elementos de ese espacio muestral?

 

Para solucionar este tipo de situaciones tenemos herramientas llamadas técnicas de conteo, las cuales nos permiten obtener de manera rápida la cantidad de eventos que forman un espacio muestral.    

 

Dentro de las técnicas de conteo encontramos las permutaciones y las combinaciones.

 

Permutación.   

La permutación es una técnica de conteo para hallar el espacio muestral en una situación en la que si importa el orden y no hay repetición de elementos.

Ejemplos:

 

Ejemplo 1:  En una competencia de atletismo, se le va a dar medalla de oro, plata y bronce a los tres primeros lugares; cuantas posibilidades tenemos si son 100 participantes?  Es una permutación ya que no es lo mismo quedar primero que segundo y una vez llega el primero quedan 99 posibilidades para el segundo lugar, pero cuando llega el segundo solo quedan 97 opciones para el tercero, por esto decimos que no hay repetición ya que cada elemento al quedar ubicado, queda excluido para la siguiente posición. 

Ejemplo 2: Un grupo de 6 amigos se van al teatro para observar una película, se van a ubicar seguidos en la misma fila.  De cuantas maneras distintas se pueden ubicar?

Ejemplo 3: 47 Estudiantes compiten por la final de las olimpiadas de matemáticas, cuantos escenarios diferentes tendríamos si se dan premios diferentes a los 5 primeros lugares? 

Como podemos observar en los tres ejemplos anteriores de permutación, existe un conjunto general (lo llamaremos n) del cual sacamos una muestra (que llamaremos r) pero de forma ordenada.  Para hallar el espacio muestral la primer tarea consiste en identificar n y r.

Identificando n y r en estos escenarios tendriamos:

Ejemplo 1:   n=100     r=3
Ejemplo 2:   n=6        r=6
Ejemplo 3:   n= ?       r=?

Posteriormente aplicamos la ecuación correspondiente a permutaciones:

  

Recordemos que el factorial de un número natural está dado por el producto de todos lo números naturales desde 1 hasta el número del cual estamos hallando su factorial:

Ejemplo 4: Factorial de 5:

 

Al aplicar la ecuación en el Ejemplo 1 tenemos:

Para el Ejemplo 1 hay 970.000 eventos posibles diferentes para los tres primeros lugares, este es su espacio muestral.


Combinación.

La combinación es una técnica de conteo para hallar el espacio muestral en una situación en la que no importa el orden y no hay repetición de elementos.

Ejemplos:

Ejemplo 5: En una competencia clasificatoria de atletismo, los tres primeros lugares ganarán el honor de representar al país en el campeonato mundial. cuantas posibilidades tenemos si son 100 participantes? Es una combinación ya que no importa el orden de los tres primeros ya que así llegue de primero, de segundo ó de tercero de todas maneras clasifica al mundial.

Ejemplo 6: En un equipo de futsal de 8 integrantes, solo pueden estar 5 jugando en la cancha, cuantas posibles alineaciones tiene el técnico de dicho equipo?

Ejemplo 7: En salón de clase tenemos 36 estudiantes, cuantos grupos posibles podrian salir si pedimos que se agrupen de a 4 personas?

Como podemos observar en los tres ejemplos anteriores de combinación, existe un conjunto general (lo llamaremos n) del cual sacamos una muestra (que llamaremos r) pero no requiere ordenamiento ninguno. Para hallar el espacio muestral inicialmente identificamos n y r.

Identificando n y r en estos ejemplos tenemos:

Ejemplo 5: n=100 r=3
Ejemplo 6: n= ? r=?
Ejemplo 7: n=36 r=4

La ecuación correspondiente a la combinación es:

 

y aplicada al ejemplo 7, tendriamos:

Es decir en la situación del Ejemplo 7: tendriamos una espacio muestral de 58.905 eventos posibles; habrian 58.905 grupos diferentes posibles.

Para complementar todo lo anterior observemos el siguiente video: